Probabilités⚓︎
Objectifs
Notions étudiées : - Expériences aléatoires - Loi de probabilités - Evénement complémentaire - Intersection d'événements - Réunion d'évenements
Modélisation d'une expérience aléatoire
A retenir
Définition : Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats possibles sont connus sans que l'on puisse déterminer lequel sera réalisé.
Une issue est un des résultats possibles d'une expérience aléatoire.
L'univers associé à une expérience aléatoire est l'ensemble des issues possibles.
Exemple
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on observe le nombre obtenu. Cette expérience a 6 issues possibles et l'univers associé est \(\Omega =\{1,2,3,4,5,6 \}\).
On tire une carte dans un paquet de 32 cartes et on observe la couleur. Cette expérience a 4 issues possibles et l'univers associé est \(\Omega =\{As, Carreaux, Pique, Coeur\}\).
N°17-21-22 p309
N°38-39-41p310
Evénement d'une expérience aléatoire - Loi de probabilités
A retenir
Définition : Un évenement A est un ensemble d'issues : c'est une partie de l'univers \(\Omega\).
On dit qu'une issue réalise un évenement A lorsque c'est un élément de A.
Cas particulier : Un évenement élémentaire est un évenement qui ne contient qu'une seule issue.
Un évenement impossible est un évenement qui ne contient aucune issue.
Un évenement certain est un évenement qui contient toutes les issues.
Exemple
Le lancer d'un dé à 6 faces, l'évenement A : "obtenir un nombre pair" est réalisé par les issues {2},{4} et {6}. On écrit \(A=\{2,4,6\}\)
L'évenement B : "obtenir un nombre inférieur ou égal à 6" est un évenement certain. On écrit \(B=\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
L'évenement C : "obtenir le nombre 7" est un évenement impossible. On écrit \(C=\emptyset\).
Loi de probabilité
Définition : Définir une loi de probabilité pour une expérience aléatoire dont l'univers est \(\Omega=\{x_1,x_2,...x_n\}\) consiste à attribuer à chaque issues \(x_i\) un nombre \(p_i\) positif ou nul tel que \(p_1+p_2+...+p_n=1\)
Probabilité d'un évenement
La probabilité d'un évenement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
Propriété : \(P(\emptyset)=0\); \(P(\Omega)=1\) et pour tout évenement A, \(0\leq P(A)\leq 1\).
Propriété : Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évenement A est \(P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card{\Omega}}\) où le Card() est le nombre d'éléments de l'ensemble.
Exemples
Lorsqu'on lance un dé non truqué à 6 faces, la probabilité de B:"obtenir un multiple de 3" est la somme des probabilités des issues {3} et {6} qui composent l'évenement B. Donc \(P(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)
N° 27p309
N° 47-48p311
N° 54-57p312-313
Intersection et réunion
A retenir
Définition : Soient A et B deux événements d'un univers \(\Omega\).
- L'intersection de A et B est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B (les deux à la fois).
- La réunion de A et B est l'ensemble des issues qui réalisent A ou B (au moins l'un des deux).
- Les événements A et B sont incompatibles lorsque \(A\cap B = \emptyset\).
A retenir
Propriété : Soient A et B deux événements
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
Remarque Si A et B sont incompatibles, on a \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
Exemples
Application et méthode en bas de la page 300. Exemples
A retenir
Définition : L'événement complémentaire de A est l'événement, noté \(\bar{A}\), formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A . Autrement dit, \(A\cap \bar{A} = \emptyset\) et \(A\cup \bar{A}=\Omega\).
Propriété :\(P(\bar{A})=1-P(A)\)
Exemples
arbres
N°67-68p314-315
N°69-70p315
N°87-89-90p218