Fonctions de référence

Objectifs

• Calculs : Connaitre les différentes fonctions de référence et les applications.
• Modélisation : A partir d'un problème concret, choisir une fonction qui permet d'optimiser et de répondre à la problématique (Bénéfice, cout, volume, surface...)

Rappels

Les compétences acquises dans le chapitre 6 : calcul littéral sont indispensables pour ce chapitre

Fonction carrée et Fonctions polynômes de degré 2

Cours Exercices

A retenir

Définition : La fonction carrée est la fonction qui à tout réel \(x\), associe le réel \(x^2\). Sa courbe représentative est une parabole.

Propriétés : 1. Pour tout réel \(x\), \(x^2\geq 0\).
2. La fonction carrée est paire, sa courbe admet donc une symetrie selon l'axe des ordonnées.
3. La fonction carrée est strictement décroissante sur \(]-\infty;0]\) et strictement croissante sur \([0; +\infty[\).

Exemples
Ces propriétés sont utiles pour comparer des carrées. Sans calculatrice, compléter par <,>,= :
\(1.125^2 \dots 1.13^2\)
\((-3.21)^2\dots (-2)^2\)
\((-3)^2\dots 3^2\)
\(\pi^2 \dots 3^2\)
\((-999)^2\dots(-1000)^2\)

A retenir

Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction \(f\) définie pour tout \(x\) réel par \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).
Exemple Soit les trois fonctions polynôme du second degré :
\(f(x)=2x^2+3x−1\) on a : \(a=2, b=3, c=−1\)
\(g(x)=4x^2−5\) on a : \(a=4, b=0, c=−5\) \(h(x)=−3x^2+2x\) on a : \(a=−3, b=2, c=0\)
Propriété : Toute fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire sous forme canonique : \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(a\), \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels.
Exemples :
- \(f(x)=2(x-1)^2+5\) est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2. \(a=2, \alpha =1, \beta=5\)
- \(g(x)=3(x-2)^2-4\) est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2. \(a=3, \alpha =2, \beta=-4\)
- \(h(x)=2(x+3)^2-5\) est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2. \(a=2, \alpha =-3, \beta=-5\)
- \(l(x)=-5(x+1)^2-2\) est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2. \(a=-5, \alpha =-1, \beta=-2\)
Exercice : Tracer les paraboles représentant ces courbes puis donner les tableaux de variations de chaque fonction.
Propriété :

Equations-Inéquations Simples :
N°25 p131, N°37 p132
N°16 p131 Faire : N°75 p136
N°44-46p133 Exercices

Fonction inverse et Fonctions homographiques

Cours Exercices

A retenir

Définition : La fonction inverse est la fonction qui à tout \(x\) non nul associe son inverse \(\dfrac{1}{x}\).
Sa courbe représentative est appelée hyperbole
Propriétés : La fonction inverse :
- est impaire,
- ne s'annule pas sur son ensemble de définition,
- est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\). Attention, elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\)

Exemple

Compléter avec < ou > :
\(\dfrac{1}{5}\dots \dfrac{1}{8}\)
\(-\dfrac{1}{2}\dots -\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{3}{7}\dots \dfrac{5}{7}\)
\(\dfrac{2}{5}\dots -\dfrac{2}{3}\)

A retenir

Définition : Une fonction homographique est une fonction définie pour tout \(x\neq -\dfrac{d}{c}\) par \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(a,b,c,d\) réel

Inéquations et fonctions homographiques

Fiche