Colinéarité de vecteurs

Objectifs

• Calculs : Produit d’un vecteur par un nombre réel.
• Colinéarité de deux vecteurs.
• Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité.
• Modélisation Application à l'homothétie, l’alignement, au parallélisme.

Produit d'un vecteur par un réel

Cours Exercices

Activité

Activité1
Activité2

A retenir

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un réel non nul. Alors le vecteur \(k.\vec{u}\) est un vecteur qui a : - la même direction que \(\vec{u}\)
- Si \(k>0\) le même sens que \(\vec{u}\)
- Si \(k<0\) le sens opposé à \(\vec{u}\)
- La norme de \(\lVert k.\vec{u}\rVert\) est égale à \(\vert k\vert .\lVert\vec{u}\rVert\)
Exemple : \(2.\vec{u}\) a la même direction, le même sens qu \(\vec{u}\) et sa norme (longueur) est le double de celle de \(\vec{u}\)
\(-0.5 \vec{u}\) a la même direction, le sens opposé que \(\vec{u}\) et sa norme vaut la moitié de celle de \(\vec{u}\)

A retenir

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u}=k.\vec{v}\).
Remarque : \(\vec{0}=0.\vec{v}\) le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Propriété : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction (portés par des droites parallèles).

N°18-19 p207
N°41-42 p208

Caractérisation avec les coordonnées

Coordonnées de vecteurs colinéaires

CoursExercices

Activité

A retenir

Soit \(\vec{u} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) alors pour tout réel \(k\) non nul, \(k.\vec{u} \begin{pmatrix} k.x\\ k.y \end{pmatrix}\)

• N°35 p208
• N°20 p207 Faire : N°27p207 et N°37p208 Faire : N°47p209
• N°51p209 Faire : N°50p209 Faire : N°46p209 et N°52p209
• N°57 p210

Déterminant de vecteurs

CoursDémonstrationExercices

A retenir

Définition : Soit \(\vec{u} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\) On appelle déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), le nombre \(det(\vec{u},\vec{v})=x.y'-x'.y\)
Propriété : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs colinéraires si et seulement si \(det(\vec{u},\vec{v})=0\).

A écrire

Refaire : N°20p207, N°27p207, N°37p208 Faire : N°63p210

Applications

Parallelisme et alignement

CoursExercices

A retenir

• \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires si et seulement si \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
• \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires si et seulement si les points A,B et C sont alignés.

N°67-68p211
N°74-77p212
Fiche