Notion de vecteurs⚓︎
Objectifs
Déterminer l’image d’un point par une translation
Utiliser le lien entre égalité de vecteurs et parallélogramme
Utiliser le lien entre vecteurs et milieu d’un segment
Utiliser le lien entre vecteurs et symétrie
Manipuler la somme de vecteurs
Manipuler la relation de Chasles
Les coordonnées de vecteurs
DĂ©finitions
A retenir
DĂ©finition :
Soient A et B deux points du plan.
On appelle translation qui transforme A en B, la transformation qui à tout point C du plan associe l'unique point D ABDC est un parallélogramme.
A cette translation, on associe le vecteur\(\overrightarrow{AB}\).
Le point A est appelé origine du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), le point B est son extrémité.
On dit que B est l'image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Cas particulier :
- Si A et B sont confondus, la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) laisse invariant tous les points du plan. Le vecteur \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) est appelé vecteur nul.
- A est l'image de B par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BA}\). Le vecteur \(\overrightarrow{BA}=- \overrightarrow{AB}\) est le vecteur opposé à \(\overrightarrow{AB}\).
Propriété Soient A et B deux points du plan, M, N et O trois points ayant pour image M',N' et O' par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Alors :
- Si M, N et 0 sont alignés alors M', N' et O' sont alignés.
- L'image du segment [MN] est le segment [M'N'].
- Si O est le milieu de [MN], alors O' est le milieu de [M'N'].
Bilan : La translation conserve les angles et les distances.
A retenir
Définition Pour désigner l'unique vecteur associé à la translation qui transforme A en B et C en D, on peut utiliser les lettres en écrivant \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\vec{u}\).
Remarque Un vecteur admet un infinité de représentants.
Propriété Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est déterminé par :
- Sa direction (la droite (AB)),
- Son sens (de A vers B),
- Sa norme (La longueur AB), noté \(\left\lVert\overrightarrow{AB}\right\rVert\)
Propriété Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (Attention à l'ordre des sommets)
Propriété Soient A, B et I trois points du plan. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- I est le milieu de [AB],
- \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AB}=2.\overrightarrow{AI}\)
N°15p183
N°28-29p184
N°31-33 p185
N°36-38p186
Somme de vecteurs
A retenir
Propriété Relation de Chasles : Pour tous points A,B, C du plan, on a
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
Propriété Règle du parallélogramme :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\) si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
N°16p183
N°39-41p186
N°43-46p187
Vecteurs dans un repère orthonormé
A retenir
Définition Le plan muni d'un repère (O,I,J) quelconque. Pour tout vecteur \(\vec{u}\) du plan, il existe un unique point M(x,y) tel que \(\vec{u}=\overrightarrow{OM}\). Alors :
\(\vec{u} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\).
Le couple \((x,y)\) est applelé coordonnées de \(\vec{u}\).
Propriété : Soient \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) deux points du plan. Alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}
x_B-x_A\\
y_B-y_A
\end{pmatrix}\).
Propriété : Somme de vecteurs :
Soient \(\vec{u} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}\)
alors la somme \(\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix}
x+x'\\
y+y'
\end{pmatrix}\)
Ex 1
Donner les coordonnées des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
Ex 2 Dans un repère, tracer les vecteurs \(\vec{a}\begin{pmatrix}
2\\
-1
\end{pmatrix}\) et \(\vec{b} \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\)
Ex3 Dans un repère, on donne les points A(1,1) ; B(3,2) ;C(2,0) et D(-3,-1). Déterminer dans les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
N°19-20-22p183
N°50-53-54p188
N°56-58-59-61p189
Exercices corrigés bilan L.PATTERNAULT