Notion de vecteurs⚓︎
🎯 Ce que tu vas apprendre
- Déterminer l’image d’un point par une translation
- Utiliser le lien entre égalité de vecteurs et parallélogramme
- Utiliser le lien entre vecteurs et milieu d’un segment
- Utiliser le lien entre vecteurs et symétrie
- Manipuler la somme de vecteurs
- Manipuler la relation de Chasles
- Les coordonnées de vecteurs
Définitions
A retenir
Définition :
Soient A et B deux points du plan.
On appelle translation qui transforme A en B, la transformation qui à tout point C du plan associe l'unique point D ABDC est un parallélogramme.
A cette translation, on associe le vecteur\(\overrightarrow{AB}\).
Le point A est appelé origine du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), le point B est son extrémité.
On dit que B est l'image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Cas particulier :
- Si A et B sont confondus, la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) laisse invariant tous les points du plan. Le vecteur \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) est appelé vecteur nul.
- A est l'image de B par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BA}\). Le vecteur \(\overrightarrow{BA}=- \overrightarrow{AB}\) est le vecteur opposé à \(\overrightarrow{AB}\).
Propriété Soient A et B deux points du plan, M, N et O trois points ayant pour image M',N' et O' par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Alors :
- Si M, N et 0 sont alignés alors M', N' et O' sont alignés.
- L'image du segment [MN] est le segment [M'N'].
- Si O est le milieu de [MN], alors O' est le milieu de [M'N'].
Bilan : La translation conserve les angles et les distances.
A retenir
Définition Pour désigner l'unique vecteur associé à la translation qui transforme A en B et C en D, on peut utiliser les lettres en écrivant \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\vec{u}\).
Remarque Un vecteur admet un infinité de représentants.
Propriété Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est déterminé par :
- Sa direction (la droite (AB)),
- Son sens (de A vers B),
- Sa norme (La longueur AB), noté \(\left\lVert\overrightarrow{AB}\right\rVert\)
Propriété Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (Attention à l'ordre des sommets)
Propriété Soient A, B et I trois points du plan. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- I est le milieu de [AB],
- \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AB}=2.\overrightarrow{AI}\)
N°15p183
N°28-29p184
N°31-33 p185
N°36-38p186
Somme de vecteurs
A retenir
Propriété Relation de Chasles : Pour tous points A,B, C du plan, on a
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
Propriété Règle du parallélogramme :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\) si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
N°16p183
N°39-41p186
N°43-46p187
Vecteurs dans un repère orthonormé
A retenir
Définition Le plan muni d'un repère (O,I,J) quelconque. Pour tout vecteur \(\vec{u}\) du plan, il existe un unique point M(x,y) tel que \(\vec{u}=\overrightarrow{OM}\). Alors :
\(\vec{u} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\).
Le couple \((x,y)\) est applelé coordonnées de \(\vec{u}\).
Propriété : Soient \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) deux points du plan. Alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}
x_B-x_A\\
y_B-y_A
\end{pmatrix}\).
Propriété : Somme de vecteurs :
Soient \(\vec{u} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}\)
alors la somme \(\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix}
x+x'\\
y+y'
\end{pmatrix}\)
Ex 1
Donner les coordonnées des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
Ex 2 Dans un repère, tracer les vecteurs \(\vec{a}\begin{pmatrix}
2\\
-1
\end{pmatrix}\) et \(\vec{b} \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\)
Ex3 Dans un repère, on donne les points A(1,1) ; B(3,2) ;C(2,0) et D(-3,-1). Déterminer dans les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
N°19-20-22p183
N°50-53-54p188
N°56-58-59-61p189
Exercices corrigés bilan L.PATTERNAULT