Fonctions affinesâïž
Objectifs
- Définitions : Fonction affine, fonction linéaire
- Définitions : Coefficient directeur, ordonnée à l'origine
- Compétences :
- DĂ©terminer lâĂ©quation dâune fonction affine dĂ©finie par les images de deux nombres distincts;
- DĂ©terminer les variations dâune fonction affine ;
- Calcul littéral : résoudre des équations, des inéquations ;
- DĂ©terminer le signe dâune fonction affine ;
- ReprĂ©senter le rĂ©sultat sous la forme dâun tableau de signes ;
- Lire un tableau de signes
Cours
DĂ©finitions
A retenir
DĂ©finition :
Une fonction affine \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax+b\) avec \(a,b\) deux nombres réels.
\(a\) est appelé coefficient directeur
\(b\) est appelé ordonnée à l'origine
Remarque : \(b=f(0)\), \(b\) est l'image de 0 par la fonction \(f\).
Dans un repÚre (O,i,j), la représentation graphique d'une fonction affine est une droite non parallÚle à l'axe des ordonnées.
ThéorÚme :
Soient deux points \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) le coefficient directeur peut ĂȘtre calculĂ© par la formule :
\(a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
l'ordonnées à l'origine se déduit par l'un des calculs \(b=y_A-a.x_A\) ou \(b=y_B-a.x_B\).
Exemple 1 :
Déterminer l'expression des fonctions affines dont la représentation est donnée ci-dessous.
f (représentée par la droite verte) :
\(b=f(0)=2\)
\(a=\frac{3}{1}\)
Donc \(f(x)=3x+2\)
g (représentée par la droite rouge) :
\(b=g(0)=-5\)
\(a=\frac{-2}{1}\)
Donc \(g(x)=-2x-5\)
h (représentée par la droite bleue) :
\(b=h(0)=-1\)
\(a=\frac{2}{3}\)
Donc \(h(x)=\frac{2}{3}x-1\)
Exemple 2 :
Soit \(f\) la fonction affine telle que \(f(2) = 3\) et \(f(6) = 1\).
- Déterminer les coordonées de deux points de la représentation graphique de \(f\).
- DĂ©terminons l'expression de \(f\).
- \(A(2;3)\) et \(B(6,1)\) sont deux points de la représentation graphique de \(f\). Celle-ci est une droite.
- \(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-3}{6-2}=\frac{-2}{-4}=-\frac{1}{2}\)
Donc \(f(x)=-\frac{1}{2}x+b\).
Pour chercher \(b\), on prend une donnĂ©e de l'Ă©noncĂ© (soit l'image de 2, soit l'image de 6, le rĂ©sultat sera le mĂȘme.)
\(f(2)=-\frac{1}{2}\times 2+b=-1+b=3 \Leftrightarrow b=3+1=4.\)
Donc \(f(x)=-\frac{1}{2}x+4\)
Vocabulaire
Niveau 1 : N°17-18p105, N°39p107
BILAN: devoirs kwyk
Niveau 2 : N°37p107 - N°43-44p107.
Niveau 3 : N°33-34p106
Sens de variation
A retenir
Propriété : \(a\) le coefficient directeur de la fonction affine \(f\).
- Si \(a>0\) alors \(f\) est croissante.
- Si \(a<0\) alors \(f\) est décroissante.
N°25p105
Equations - Inéquations
RĂ©soudre les Ă©quations suivantes :
1. \(3x+4=2x+9\)
2. \(3x+1=7x+5\)
3. \(5-4x=0\)
4. \(2x +1â (2 +x)â 7= 3x +7\)
5. \(2(xâ 1)â 3(x +1) = 4(xâ 2)\)
6. \(13x +2â (xâ 3) = xâ 5â 3(x +12)+4x\)
7. \(\frac{3}{2}x +4= 2xâ 5\)
8. \(\frac{x-1}{4}-5=\frac{2x-3}{2}+\frac{3}{4}\).
N°30 p106
N°50 p108
N°56 p109
Tableaux de signes
A retenir
Le but de cette partie est de déterminer le signe d'une fonction affine \(f\). C'est à dire que l'on veut savoir sur quel intervalle \(f(x)>0\) et sur quel intervalle \(f(x)<0\).
Le signe positif ou négatif de \(f\) se symbolise dans un tableau de signe.
Pour cela, nous allons montrer deux méthodes.
En résolvant par le calcul \(f(x)>0 \Leftrightarrow ax+b>0 \Leftrightarrow ax>-b\).
- Si a>0, cela donne \(x>\dfrac{-b}{a}\). Donc \(f(x)>0\) sur \(]\dfrac{-b}{a} ;+\infty[\)
- Si a<0, cela change l'ordre et donne \(x<\dfrac{-b}{a}\). Donc \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;\dfrac{-b}{a}[\)
On procĂšde de la mĂȘme façon pour trouver l'intervalle sur lequel \(f(x)<0\) (le calcul est strictement le mĂȘme.)
En fonction des variations de la fonction \(f\), on peut en déduire le signe grùce au graphique ci-dessus. Il reste à résoudre \(f(x)=0\) pour trouver \(\dfrac{-b}{a}\).
N°26 p105
N°65 p110
N°69p110
Exercices