Configuration du plan⚓︎
Objectifs
- Définitions : Repère, repère orthogonal, repère orthonormé,
- Définitions : Origine, abscisse, ordonnée,
- Formule du milieu,
- Formule de la longueur d'un segment,
- Propriétés des symétries centrales.
- Propriétés des triangles, des parallélogrammes, du cercle,
- Tangente Ă un cercle,
Cours
Définitions - repérage
A retenir
- On appelle repère (O;I,J), la donnée de 3 points non alignés du plan O, I, J.
- O est appelé origine du repère,
- (OI) est appelé axe des abscisses,
- (OJ) est appelé axe des ordonnées,
- Si OIJ est un triangle rectangle en O, le repère est dit orthogonal, si, de plus OI=OJ, le repère est dit orthonormé.
- Tout point M du plan est repéré par un unique couple \((x,y)\) appelé coordonnées de M, \(x\) est l'abscisse de M, \(y\) est l'ordonnée de M.
1. Sur le cahier, placer les points en respectant les carreaux.
2. Pour chaque repère \((O;I,J),(A;B,C),(J;A,C)\), donner :
- La nature du repère;
- Les coordonnées de A et D.
3. Placer les points E, F et G :
- \(E(1;3)\) dans le repère \((O;I,J)\)
- \(F(3;1)\) dans le repère \((A;B,C)\)
- \(G(1;2)\) dans le repère \((J;A,C)\)
Activité Ap146
N°16-17p159
N°33p160
Coordonnées du Milieu et applications
A retenir
Soient \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) deux points du plan muni d'un repère.
I est le milieu de [A,B] si et seulement si
\(x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}\)
et
\(y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}\)
C est le symétrique de A par rapport à B si et seulement si B est le milieu du segment [AC].
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.
Dans un repère, on considère deux points \(A(2;7)\) et \(B(-4;2)\). Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
En appliquant la propriété, on obtient :
\(x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{2+(-4)}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\)
\(y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{7+2}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Les coordonnées de \(I\) sont donc \(I(-1; 4,5)\).
Dans le plan muni d'un repère quelconque, on considère le point \(I\), milieu du segment \([AB]\). On connait les coordonnées \(I(2,3; -9)\) et \(B(5; -2)\). Quelles sont les coordonnées de \(A\) ?
Considérons d'abord les abscisses.
Puisque \(x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}\), alors \(2,3=\dfrac{x_A+5}{2}\)
\(2\times2,3=x_A+5\)
\(4,6=x_A+5\)
\(4,6-5=x_A\)
\(-0,4=x_A.\)
De même pour les ordonnées : \(y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}\), donc \(-9=\dfrac{y_A-2}{2}\), et :
\(2\times\left( -9 \right) = y_A-2\)
\(-18= y_A-2\)
\(-18+2= y_A\)
\(- 16=y_A\)
Les coordonnées de \(A\) sont donc \(A(-0,4;-16)\).
N°20-21-23 p159
N°36 p161
N°40-41p162
Exercice 1
Longueur d'un segment
A retenir
Soient \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) deux points du plan muni d'un repère orthonormé.
La distance entre les points A et B est donnée par :
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Dans un repère orthonormé, on considère deux points \(A(2;-7)\) et \(B(-4; 2)\). Calculer une valeur exacte, puis une valeur approchée au centième, de la longueur \(AB\).
En appliquant la propriété, on obtient :
\(AB = \sqrt{\left( x_B-x_A \right)^2+\left( y_B-y_A \right)^2}\)
\(= \sqrt{\left( -4-2 \right)^2+\left( 2-\left( -7 \right) \right)^2}\)
\(= \sqrt{\left( -6 \right)^2+9^2}\)
\(= \sqrt{36+81}= \sqrt{117}\)
La longueur \(AB\) est donc \(\sqrt{117}\).
N°24-26 p159
N°47-48 p163
N°54 p164
N°77 p168
Exercice 2
Rappels
- La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui coupe perpendiculairement ce segment en son milieu.
- I appartient à la médiatrice du segment [AB] si et seulement si IA=IB
Exercice
Dans le repère orthonormé (O;I,J) on considère les points suivants :
• A(6;0)
• B(0;4)
• C(1;-1)
1) Faire une figure
2) Prouver que le triangle ABC est rectangle
3) On appelle K le milieu du segment [AB].
a) Calculer les coordonnées de K.
b) Prouver que K appartient à la médiatrice du segment [OC].
Configurations
A retenir
Tangente Ă un cercle C en un point.
Propriété : La tangente à un cercle au point A est perpendiculaire au rayon [OA].
N°67 p 166
N°71 p166
N°74 p 167
Exercices MathAlea
Exercices
Révision collège : Exercices 5-7-8-9
Niveau 1 : Exercices 1-2-4
Niveau 2 : Exercices 3-6
Niveau 3 : N°60p165 - 80p168