Ensembles de nombres - Calculs numériques⚓︎
Défis
Sachant que les deux cercles ont un rayon de 1, vérifier les longueurs données dans la figure.
🎯 Ce que tu vas apprendre
Ce chapitre rappelle les règles de calculs déjà étudiées en collège : fractions, puissances, racines carrées, règles simples du calcul littéral.
Tu apprendras à :
- Dire dans quel ensemble appartient un nombre,
- Ecrire les ensembles de nombres réels sous forme d'intervalle,
- Définir des unions et des intersections d'intervalles,
- Définir une distance entre deux nombres, appelée valeur absolue.
- Résoudre des équations avec des valeurs absolues.
Cela permet de poser les bases des mathématiques algébriques avec une ou deux démonstrations.
Rappels⚓︎
Calculs numériques
Fractions
Simplification de fractions :
Exemple :
\(\dfrac{20}{45}=\dfrac{4\times5}{9\times5}=\dfrac{4\times\cancel{5}}{9\times\cancel{5}}=\dfrac{4}{9}\)
Multiplication de fractions :
Méthode :
- Simplifier chaque fraction
- Mutiliplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemples :
\(\dfrac{8}{5}\times \dfrac{15}{4} =\dfrac{2\times 4}{1\times 5}\times \dfrac{3\times 5}{1\times 4} =\dfrac{2\times\cancel{4}}{1\times\cancel{5}}\times \dfrac{3\times \cancel{5}}{1\times \cancel{4}}=\dfrac{6}{1}=6\)
\(\dfrac{6}{7}\times \dfrac{14}{9} =\dfrac{2\times 3}{1\times 7}\times \dfrac{2\times 7}{3\times 3}=\dfrac{2\times\cancel{3}}{1\times\cancel{7}}\times \dfrac{2\times \cancel{7}}{3\times \cancel{3}}=\dfrac{4}{3}\)
Additions :
- Avec le même dénominateur :
\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\)
- Avec des dénominateurs différents : ⚠️
On ne peut pas additionner les numérateurs :
1- Trouver un dénominateur commun en multipliant chacun par un nombre de telle sorte que les produits soient égaux.
2- Multiplier les numérateurs par le nombre.
3- Une fois les dénominateurs égaux, on peut additionner les numérateurs.
4- Simplifier la fraction.
\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}+\dfrac{5\times 3}{4 \times 3}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{15}{12}=\dfrac{23}{12}\)
\(\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5\times 2}{6\times 2}+\dfrac{3\times 3}{4 \times 3}=\dfrac{10}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{19}{12}\)
Division de fraction :
- Diviser deux fractions revient à multiplier la première par l'inverse de l'autre. \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\)
\(\dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)}{\left(\dfrac{7}{2}\right)}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{2}{7}=\dfrac{8}{21}\)
Vidéo sur les fractions
Puissances
Formules :
\(a^0=1\)
\(a^n\times b^n=(a\times b)^n\)
\(a^n\times a^m=a^{n+m}\)
\((a^m)^n=a^{n\times m}\)
\(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
Exemples :
\(3^0=1\)
\(5^3\times 2^3=(5\times 2)^3=10^3\)
\(2^4\times 2^5=2^9\)
\((3^2)^3=2^6\)
\(\dfrac{3^5}{3^6}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{3^2}{4^2}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)
Vidéo sur les puissances
Racines Carrées
⚠️ Tous les nombres sous le radical doivent être positifs
\(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\)
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(\sqrt{a^2}=\vert a\vert\) où \(\vert a\vert\) est la valeur absolue de \(a\)
Exemples :
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=\sqrt{4}\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\sqrt{(-5)^2}=5\)
Convention : Dans une fraction, le dénominateur doit être rationnel, il ne doit pas y avoir de radical
Par exemple :
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Vidéos sur les racines carrées
Fractions : 
N°45-46-47 p20
corrigé
Puissances : N°54-55 p20
correction
Racines carrées : N°34-35-36-37-38-39 p20
Calcul littéral
Factorisation - développement
Propriété : \(k(a+b)=k\times a+ k\times b\)
Vidéos sur des développements et factorisations
Equations
Propriété : Résoudre une équation en \(x\) consiste à trouver les valeurs de \(x\) pour lequelles l'égalité est vraie.
Méthode : Il faut isoler la variable \(x\) pour trouver à la fin \(x=\)nombre.
Exemples : Résoudre l'équation suivante :
\(3x+2=x+8\) On enlève le \(x\) dans les deux membres pour isoler les \(x\) dans le membre de gauche.
\(\Leftrightarrow 3x+2-x=x+8-x\) On enlève le 2 dans les deux membres
\(\Leftrightarrow 2x+2-2=8-2\) On calcule pour simplifier l'équation.
\(\Leftrightarrow 2x=6\). Pour trouver la valeur de \(x\), il suffit de diviser les deux membres par 2, qui est différent de 0.
\(\Leftrightarrow \dfrac{2x}{2}=\dfrac{6}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=3\)
Vérification : \(3\times 3+2 = 11\) et \(3+8=11\) pour \(x=3\) l'égalité \(3x+2=x+8\) est vraie.
Vérification : 3 est la solution de l'équation.
Ensembles de nombres - Intervalles⚓︎
Ensembles de nombres
A retenir
Définition : On définit plusieurs ensembles de nombres :
- L'ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels : 0,1,2...
- L'ensemble \(\mathbb{Z}\) des entiers relatifs : -5,-10,25,...
- L'ensemble \(\mathbb{D}\) des entiers décimaux : tous les nombres de la forme \(\dfrac{a}{10^n}\) où \(a\) est entier relatif et \(n\) entier naturel.
- L'ensemble \(\mathbb{Q}\) des entiers rationnels : tous les nombre de la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) des entiers relatifs et \(b\neq 0\).
- L'ensemble \(\mathbb{R}\) des entiers réels : \(\sqrt{2}, \pi...\)
Définition : Différence entre \(\subset\) et \(\in\) :
- Un nombre appartient à un ensemble (par exemple \(-3 \in \mathbb{Z}\)).
- Si un ensemble est inclus dans un autre ensemble on utilise le symbole \(\subset\) (par exemple \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)).
Vidéo sur les ensembles de nombres
N°2-4-5-6 p15
Ensembles
Intervalles
A retenir
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
L'intervalle \([a;b]\) est l'ensemble des nombres \(x\) tels que \(a\leq x\leq b\).
L'intervalle \(]a;b[\) est l'ensemble des nombres \(x\) tels que \(a< x< b\).
L'intervalle \([a; +\infty[\) est l'ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\leq a\).
L'intervalle \(]-\infty;a[\) est l'ensemble des nombres \(x\) tels que \(x< a\).
Remarques : 💡 Le crochet précédant ou suivant une borne "infini" est toujours ouvert.
On note \(\mathbb{R}^+\) l'ensemble des nombres réels positifs et \(\mathbb{R}^-\) l'ensemble des nombres réels négatifs.
On note \(\mathbb{R}^*\) l'ensemble des nombres réels non nuls.
Définition : On note \(\cup\) l'union de deux ensembles : ce sont les éléments appartenant à au moins un des deux ensembles.
On note \(\cap\) l'intersection de deux ensembles : ce sont les éléments appartenant aux deux ensembles.
Vidéos sur les intervalles
N°14,15p17
Dans chaque cas, déterminer \(I\cup J\) et \(I\cap J\):
\(I=]2;5]\) et \(J=[−3;4[\)
\(I=]2;5]\) et \(J=]−\infty;4]\)
\(I=]−\infty;4]\) et \(J=[−5;+\infty[\)
\(I=]6;+\infty[\) et \(J=[−4;+\infty[\)
Valeur absolue
- (a) Quelle est la distance de 7 à 5 ? de 12 à 7 ?
(b) Tracer la droite des réels, et y placer le nombre 7.
(c) Représenter l'ensemble des nombres situés à une distance de 7 inférieure à 3.
(d) Représenter cet ensemble sous la forme d'un intervalle. - Quel est l'ensemble des nombres situés à une distance de 2 inférieure à 5 ?
- Quel est l'ensemble des nombres situés à une distance de x inférieure à a ?
A retenir
\(\lvert a\rvert\) est le nombre \(a\) si \(a\) est positif ou le nombre \(-a\) si \(a\) est négatif.
Exemple : \(\lvert 4 \rvert = 4\) ; \(\lvert -5 \rvert = 5\) ; \(\lvert 3-\pi \rvert = \pi-3\)
\(\lvert x-a\rvert\) est la distance de \(x\) à \(a\).
Exemple :
la distance \(OB=\lvert 3 \rvert=3\)
La distance \(OA\)= \(\lvert -2 \rvert=2\)
La distance \(BA\)=\(\lvert -5 \rvert=5\)
Propriété : 
\(\lvert x-a\rvert <r \Leftrightarrow x\in ]-r+a,r+a[\)
Exemple : \(\lvert x-3\rvert <2 \Leftrightarrow x\in ]1;5[\)
Vidéos sur l'utilisation des valeurs absolues
N°27-29 p18
Démonstration
\(\dfrac{1}{3}\) n'est pas un nombre décimal
Questions
-
Dire que \(\dfrac{1}{3}\) est un nombre décimal équivaut à dire qu'il peut s'écire sous la forme
- \(a\) x \(10^n\)
- \(\dfrac{a}{10^{-n}}\)
- \(\dfrac{a}{10^{n}}\)
-
Cela équivaut à dire que
- \(3a=10^n\)
- \(3a=10^{-n}\)
- \(3\) x \(10^n=a\)
-
Un nombre est un multiple de 3 si et seulement si
- il est pair
- La somme de ses chiffres est multiple de 3
- Le dernier chifrre est 3
-
\(3a\) est un multiple de 3, donc \(10^n\) est également un multiple de 3. Cependant quelle est la somme des chiffres contenus dans \(10^n\)
- 10
- 3
- 1
-
Conclure
- \(10^n\) est un multiple de 3
- \(10^n\) n'est pas un multiple de 3
- \(\dfrac{1}{3}\) n'est pas décimal
Automatismes Chap1